同步皮带传动引入非线性有限元法的最佳节距差计算方法［摘要］建立了求解同步皮带传动皮肤带与同步轮节距差最佳值的数字模型，并对模型中所涉及到的非线性有限元问题进行了分析，从而形成一种引入非线性有限元法的同步皮带传动最佳节距差计算方法。通过具体算例，并将算例结果用于实验，证明了该方法的可靠性。关键词：同步皮带传动；最佳节距差；非线性有限元中图分类号：TH132文献标识码：AAlgorithmoftheoptimumpitchdifferenceofsychronousbelttransmission,whichisledintononlinearfiniteelementsmethodDINGWei-ping(Xi'anJiaotongUniversity,Xi'an710049，China)［Abstract］Inordertoseektheoptimumpitchdifferenceofsychronousbelttransmission,thispapersetsupamathematicalmodelandanalysestheproblemsofnonlinearfiniteelementsinvolvedinit.Thus,analgorithmoftheoptimumpitchdifferenceofsychronousbelttransmission,whichisledintononlinearfiniteelementsmethod,isformed.Finally,thealgorithmisprovedtobereliablebyacalculationgexampleandtheexperimentbasedontheresultsoftheexample.Keywords：Sychronousbeittransmission；Theoptimumpichdifference；Nonlinearfiniteelements同步皮带传动是一种新型的啮合传动，它具有传动比恒定、结构紧凑、效率高、噪音低、无需润滑等许多优点，应用范围日益广泛。随着同步皮带传动在高速、重载领域中应用的不断拓展，对其使用寿命及可靠性的要求越来越高。而在影响同步带传动寿命及可靠性的诸多因素中，同步皮带与同步轮的动态节距差(在啮合传动过程中的节距差)是极为重要的一个方面。动态节距差直接影响到带齿上的载荷分配和啮合干涉量的大小，这是造成爬齿、跳齿以及带齿磨损的主要原因。如果动态节距差过大，还会造成带齿过载断裂甚至带体拉断等失效形式［1］。因而，同步皮带传动正确啮合的一个重要基本条件就是要使同步皮带与同步轮的动态节距差趋近于零。但是，在现行的同步皮带传动设计准则中，要求“带与同步轮的节距相等”，其真正含义是要求“带与同步轮在未受力状态下的节距相等”，即同步皮带与同步轮的静态节距差(未受力状态下的节距差)为零。然而，静态节距差为零正好意味着动态节距差不为零。它是因为同步皮带传动在工作过程中，带受张力作用而产生较为显著的拉伸变形，使得带的节距较未受力状态下有明显伸长。因此，在设计时应当使未受力状态下的带节距小于带轮节距，并合理控制其静态节距差，以使动态节距差最大限度地趋近于零。这里所谓的“最佳节距差”即指静态节距差的最佳值。由于同步皮带的结构参数已经标准化，因此一般采用调整带轮结构参数的方法来控制同步皮带与同步轮的静态节距差。例如可以增大同步轮外径或节顶距以使其节距增大。由此可见，这里提出的同步带传动最佳节距差的计算方法对于带与带轮配对优化设计的理论及方法研究具有重要价值。1数学模型同步皮带传动的静态节距差δ定义为δ=Tb-TP(1)其中，Tb为带的节距；Tp为带轮的节距。Tb及Tp均为未受力状态下的值。如前所述，可通过合理控制δ而使动态节距差趋近于零。另一方面，由于同步带传动的带齿与带轮齿之间是非共轭啮合，因而啮合干涉不可避免(即便是动态节距差为零时啮合干涉依然存在)。图1示出了带齿在主动轮上与同步轮齿进入啮合时的干涉过程：带齿的齿顶棱角顶住了带轮齿面，并沿带轮齿面滑向带轮齿根部，进入完全啮合状态，如图中虚线所示。而啮合干涉量即定义为啮合干涉区域的面积［2］，如图2中阴影部分所示。图1啮合干涉过程同步皮带传动在工作过程中，同步皮带受张力作用产生拉伸变形，在使带节距伸长的同时也使带齿齿形产生变形。显然，带节距的伸长与齿形的变形都与动态节距差之间存在着对应关系。而带节距与齿形变化对传动啮合过程的综合影响可归结为对啮合干涉的影响。可见，δ与啮合干涉量之间存在着对应关系。同时，啮合干涉量在啮合过程中随时间而变。因而，啮合干涉量g可看成静态节距差δ与时间t的函数，即：g=g(δ,t)(2)若带齿与带轮齿在时刻tl开始进入啮合，在时刻t2进入完全啮合状态。则在区间［t1,t2］上有g的最大值G为G=max{g(δ,t)},t∈［t1,t2］(3)可见，G是δ的函数，即：G=G(δ)(4)啮合干涉是影响同步皮带传动工作性能、降低其寿命及可靠性的根本原因，例如会引发爬齿、跳啮、振动、噪声以及带齿的过度磨损等。因而，对啮合干涉量应加以控制、减少。由此可见，所谓“最佳节距差”应当是当G取得最小值时所对应的δ值。然而，带齿齿廓与带轮齿齿廓在啮合时必须保持接触，这一条件即要求G(δ)>0(5)又由于要使Tb<Tp才合理，所以还要求δ<0(6)因此，最佳节距差δ是在式(5)、式(6)的约束条件下，由式(4)求出的G的最小值所对应的δ值。这是一个一维优化问题，可用“黄金分割法(0.618法)”求解［3］。由上述数学模型求解δ*的关键在于确定式(2)所示的函数关系式。为此需要建立图2中所示的曲线Cb用Cp的方程。在图3所示的坐标系中考察带齿与带轮齿的啮合情况。图中，O为带轮轴心，rb为带轮节圆半径，ω为带轮角速度，M为啮合节点。在带齿齿廓上取，带轮齿齿廓上的与之对应，在啮合时二者相接触并发生干涉。当二者由图3所示的非啮合位置转至图2所示的啮合位置时，即为图2中的曲线Cb，相应地，(即为Cp(认为图2与图3的坐标系是一致的)。图2啮合干涉区域图3中所示的的方程仅由同步轮的相关几何参数即可确定，这是一个简单的平面解析几何问题，至于的方程，则首先要根据带及带轮的相关几何参数，采用平面解析几何的方法，求出未受力状态下的同步皮带齿齿廓曲线方程；再通过力学或动力学分析，求出张力作用下带齿的变形；最后，根据带齿变形对未受力情况下的带齿齿廓方程加以修正，得到在张力作用下的的方程。限于篇幅，这里对建立与方程详细推导过程不再赘述。这里仅指出，在用于确定方程的带轮的相关几何参数中，包含着Tp。在用于确定方程的带及带轮的相关几何参数中，包含着Tb。因为带的结构参数已经标准化，所以在分析时一般保持Tb不变而对Tp进行调整。在此情况下，由式(1)可知Tp为δ的函数，即：图3啮合情况及坐标系Tp=Tp(δ)=Tb-δ(7)由此可见，的方程中含有参数δ。对张力作用下的的方程进行坐标平移变换即得到Cb的方程，相应地，对的方程进行坐标旋转变换即得到Cp的方程。若t0为计时起点，t为带齿与带轮齿啮合过程中的某一时刻。则坐标平移变换矩阵为(8)坐标旋转变换矩阵为(9)其中的Δθ是由t0到t时刻带轮所转过的角度，由下式确定：Δθ=ω(t-t0)(10)若将由上述方法所求得的Cb的方程记为y=ftb(x)(11)Cp的方程记为y=fδp，t(x)(12)则由啮合干涉量的定义，式(2)的函数关系式即为g=g(δ,t)=∫ba［fδp,t(x)-ftb(x)］dx(13)式中积分限a、b为Cb与Cp的交点A、B所对应的x坐标，如图2所示。它们也是δ和t的函数。式(13)可采用数值积分方法求解，例如用Newton-Cotes公式求解。2数学模型中的非线性有限元问题采用上述数学模型必须首先确定Cb及Cp的方程。如前所述，Cp方程的确定较为简单，只需要对由带轮的相关几何参数确定的的方程进行坐标旋转变换即可。而Cb方程的确定则较为复杂，不仅要考虑到带与带轮的相关几何参数以及进行坐标平移变换，而且还必须考虑带齿在带中张力作用下所产生的弹性变形。一般情况下，同步皮带由带齿、带背、强力层、包布层组成，强力层处于带的节线位置。带齿和带背材料为橡胶，强力层由玻璃纤维芯绳绕制而成，包布层采用变形纱，起保护作用。这种材料特性决定了同步皮带中的应力-应变之间为非线性关系，这可由同步皮带拉伸试验的结果加以验证［4］。同时，由于橡胶材料的弹性模量小，同步皮带在张紧力作用下将产生较大的变形，因而其应变-位移之间为非线性关系［5］。所以，带齿在张紧力作用下的变形既是材料非线性问题又是几何非线性问题［5］。采用有限元法计算t时刻带齿在张紧力作用下的变形，其动力学方程为(14)t0时刻的初始条件为(15)其中，分别为结点位移、速度、加速度列矢量；{P(t)}为载荷列矢量，由张紧力确定：［M］、［C］、［K］分别为系统的总体质量、阻尼、刚度矩阵，且有如下各式：［M］=Σe［Te］T［Le］T［me］［Le］［Te］(16)［C］=Σe［Te］T［Le］T［ce］［Le］［Te］(17)［K］=Σe［Te］T［Le］T［ke］［Le］革［Te］(18)其中，［Le］为单元局部坐标系对系统总体坐标系的坐标转换矩阵；［Te］为单元结点坐标在整个系统广义坐标中的定位矩阵；［me］、［ce］、［ke］分别为在单元局部坐标系下的单元质量、阻尼、刚度矩阵，若按平面问题处理，则它们由以下各式确定：(19)(20)(21)其中，ρ为材料密度；r为材料阻尼系数；Ae为单元的面积；［N］为矩形函数矩阵。需要特别关注的是单元的应力-应变关系矩阵［D］、应变-位移关系矩阵［B］以及应变增量-位移增量关系矩阵［B*］，问题的材料非线性与几何非线性性质由它们直接体现，并最终将非线性因素归结于式(14)中的总体刚度矩阵［K］。由式(18)和式(21)可以证明，在［K］的各元素中含有结点位移分量，因此可写成如下形式：［K］=［K({q(t)}］(22)即说明式(14)为一个二阶非线性微分方程组。需要说明的是，采用有限元法计算t时刻带齿在张力作用下的变形，建立了式(14)所示的非线性力学方程组。在求解该方程组时不妨取初始条件式(15)为(23)且只需求出一、二个低阶模态即可。可选取三结点三角形单元，采用Newmark法［6］求解。3算例及实验在上述分析的基础上，采用FORTRAN语言编制了求解同步皮带传动最佳节距差的计算程序，并对225L075型同步皮带传动在不同初张力条件下的节距差最佳值进行计算。计算结果如表1、表2所示。表1E=7.0×104N/mm2时的δT0(N)δ*(mm)222-0.0134293-0.0141325-0.0143330-0.0145335-0.0146表2E=4.0×104N/mm2时的δ*T0(N)δ*(mm)222-0.0234293-0.0246325-0.0251330-0.0253335-0.0254其中，E为同步皮带材料的弹性模量；T0为初张力。选取E=7.0×104N/mm2的225L075型同步皮带3条进行疲劳寿命实验。初张力T0调整到325N，静态节距差δ分别为+0.0080mm、-0.0143mm、-0.0185mm。当带齿齿面发生明显磨损时所对应的工作时间分别为43h、126h、96h。显然，对应于δ=δ*(即-0.0143mm)时的疲劳寿命最长。同时可见，正的δ值对疲劳寿命的影响最为不利。对E=4.0×104N/mm2的同步带做同样实验也得出同样结果。由此验证了这里所提出的同步皮带传动最佳节距差计算方法的可靠性。4结束语这里提出的同步皮带传动最佳节距差计算方法，经理论分析与实验验证是正确、可靠的。它解决了同步皮带与同步带轮配对优化设计中的一个关键问题，并为进行同步带传动的寿命及可靠性研究、优化设计方法研究以及新型齿形的设计研究等奠定了基础。为适应高速、重载条件的要求，这里在计算张力作用下带齿的变形时，采用了动力学分析模型。这样，最终所求得的δ*一般是时间t的函数。表1、表2中的δ*值实际上是δ*的时间平均值。为了简化计算，一方面，在低速情况下，若与速度和加速度有关的力小到可忽略不计，则可采用静力学模型替代动力学模型计算张力作用下的带齿变形。此时式(14)变为非线性代数方程组，可用修正的Newton-Raphson［6］法求解。另一方面，由于同步带材料特性中的几何非线性较之材料非线性具有明显优势［5］，因而在计算带齿变形时也可以忽略材料非线性的影响。作者单位：西安交通大学，西安710049参考文献1武聪，李树军.同步皮带传动失效及疲劳寿命的研究.机械科学与技术.1996.3.2丁渭平.同步带传动的CAD方法研究.西北工业大学硕士学位论文，1998.3刘惟信.机械最优化设计.第二版.北京.清华大学出版社，1994.4王勇.同步带传动力学性能分析研究.西北工业大学硕士学位论文，1997.)