引入非线性有限元法的同步带传动最佳节距差计算方法

　　［摘要］建立了求解同步带传动带与带轮节距差最佳值的数字模型，并对模型中所涉及到 的非线性有限元问题进行了分析，从而形成一种引入非线性有限元法的同步带传动最佳节距差计算方法。通过具体算例，并将算例结果用于实验，证明了该方法的可靠性。
　　关键词：同步带传动；最佳节距差；非线性有限元
　　中图分类号：TH132　　文献标识码：A

Algorithm of the optimum pitch difference of sychronous belt transmission, which is led into nonlinear finite elements method

DING Wei-ping(Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049，China)

　　［Abstract］In order to seek the optimum pitch difference of sychronous belt transmission, this paper sets up a mathematical model and analyses the problems of nonlinear finite elements involved in it. Thus,an algorithm of the optimum p i tch difference of sychronous belt transmission, which is led into nonlinear fini te elements method,is formed. Finally, the algorithm is proved to be reliable by a calculationg example and the experiment based on the results of the example.
　　Key words：Sychronous beit transmission；The optimum pich difference；Nonlinear finite elements

　　同步带传动是一种新型的啮合传动，它具有传动比恒定、结构紧凑、效率高、噪音低、 无需润滑等许多优点，应用范围日益广泛。
　　随着同步带传动在高速、重载领域中应用的不断拓展，对其使用寿命及可靠性的要求越来越 高。而在影响同步带传动寿命及可靠性的诸多因素中，带与带轮的动态节距差(在啮合传动 过程中的节距差)是极为重要的一个方面。动态节距差直接影响到带齿上的载荷分配和啮合 干涉量的大小，这是造成爬齿、跳齿以及带齿磨损的主要原因。如果动态节距差过大，还会 造成带齿过载断裂甚至带体拉断等失效形式［1］。因而，同步带传动正确啮合的一个重要 基本条件就是要使带与带轮的动态节距差趋近于零。但是，在现行的同步带传动设计准则中 ，要求“带与带轮的节距相等”，其真正含义是要求“带与带轮在未受力状态下的节距相等 ”，即带与带轮的静态节距差(未受力状态下的节距差)为零。然而，静态节距差为零正好意 味着动态节距差不为零。它是因为同步带传动在工作过程中，带受张力作用而产生较为显著 的拉伸变形，使得带的节距较未受力状态下有明显伸长。因此，在设计时应当使 未受力状态下的带节距小于带轮节距，并合理控制其静态节距差，以使动态节距差最大限度 地趋近于零。这里所谓的“最佳节距差”即指静态节距差的最佳值。
　　由于同步带的结构参数已经标准化，因此一般采用调整带轮结构参数的方法来控制带与带轮 的静态节距差。例如可以增大带轮外径或节顶距以使其节距增大。由此可见，这里提出的同 步带传动最佳节距差的计算方法对于带与带轮配对优化设计的理论及方法研究具有重要价值 。

1　数学模型
　　同步带传动的静态节距差δ定义为

δ=T_b-T_P(1)

　　其中，T_b为带的节距；T_p为带轮的节距。T_b及T_p均为未受力状态 下的值。
　　如前所述，可通过合理控制δ而使动态节距差趋近于零。另一方面，由于同步带传动的带齿 与带轮齿之间是非共轭啮合，因而啮合干涉不可避免(即便是动态节距差为零时啮合干涉依 然存在)。图1示出了带齿在主动轮上与带轮齿进入啮合时的干涉过程：带齿的齿顶棱角顶住 了带轮齿面，并沿带轮齿面滑向带轮齿根部，进入完全啮合状态，如图中虚线所示。而啮合 干涉量即定义为啮合干涉区域的面积［2］，如图2中阴影部分所示。

图1　啮合干涉过程

　　同步带传动在工作过程中，带受张力作用产生拉伸变形，在使带节距伸长 的同时也使带 齿齿形产生变形。显然，带节距的伸长与齿形的变形都与动态节距差之间存在着对应关系。 而带节距与齿形变化对传动啮合过程的综合影响可归结为对啮合干涉的影响。可见，δ与啮 合干涉量之间存在着对应关系。同时，啮合干涉量在啮合过程中随时间而变。因而，啮合干 涉量g可看成静态节距差δ与时间t的函数，即：

g=g(δ,t)　　(2)

　　若带齿与带轮齿在时刻t_l开始进入啮合，在时刻t₂进入完全啮合状态。则在区 间［t₁,t₂］上有g的最大值G为

G=max{g(δ,t)},t∈［t₁,t₂］　　(3)

　　可见，G是δ的函数，即：

G=G(δ)　　(4)

　　啮合干涉是影响同步带传动工作性能、降低其寿命及可靠性的根本原因，例如会引发爬齿、 跳啮、振动、噪声以及带齿的过度磨损等。因而，对啮合干涉量应加以控制、减少。由此可 见，所谓“最佳节距差”应当是当G取得最小值时所对应的δ值。然而，带齿齿廓与带轮齿 齿廓在啮合时必须保持接触，这一条件即要求

G(δ)>0　　(5)

　　又由于要使T_b<T_p才合理，所以还要求

δ<0　　(6)

因此，最佳节距差δ是在式(5)、式(6)的约束条件下，由式(4)求出的G的最小值所对应 的δ值。这是一个一维优化问题，可用“黄金分割法(0.618法)”求解［3］。
　　由上述数学模型求解δ^*的关键在于确定式(2)所示的函数关系式。为此需要建立图2中所 示的 曲线C_b用C_p的方程。在图3所示的坐标系中考察带齿与带轮齿的啮合情况。图 中 ，O为带轮轴心，r_b为带轮节圆半径，ω为带轮角速度，M为啮合节点。在带 齿齿廓上取，带轮齿齿廓上的与之 对应，在啮合时二者相接触并发生干涉。当二者由图3所示的非啮合位置转至图2所示的啮合 位置时，即为图2中的曲线C_b，相应地，(即为C_p(认为图2与图3的坐标系是一致的)。

图2　啮合干涉区域

　　图3中所示的的方程仅由带轮的相关几何参数即 可确定，这是一 个简单的平面解析几何问题，至于的方程，则首先要根据带及带 轮的相关几何参数，采用平面解析几何的方法，求出未受力状态下的带齿齿廓曲线方程；再 通过力学或动力学分析，求出张力作用下带齿的变形；最后，根据带齿变形对未受力情况下 的带齿齿廓方程加以修正，得到在张力作用下的的方程。限于篇 幅，这里对建立与方程详细推导过程不 再赘述。这里仅指出，在用于确定方程的带轮的相关几何参数中 ，包含着T_p。在用于确定方程的带及带轮的相关几何参数 中，包含着T_b。因为带的结构参数已经标准化，所以在分析时一般保持T_b不变而对T_p进行调整。在此情况下，由式(1)可知T_p为δ的函数，即：

图3　啮合情况及坐标系

　　T_p=T_p(δ)=T_b-δ　　(7)

由此可见，的方程中含有参数δ。
　　对张力作用下的的方程进行坐标平移变换即得到C_b的 方程，相应地，对的方程进行坐标旋转变换即得到C_p的方 程。若t₀为计时起点，t为带齿与带轮齿啮合过程中的某一时刻。则坐标平移变换矩 阵为

　　(8)

坐标旋转变换矩阵为

　　(9)

　　其中的Δθ是由t₀到t时刻带轮所转过的角度，由下式确定：

Δθ=ω(t-t₀)　　(10)

　　若将由上述方法所求得的C_b的方程记为

y=f_t^b(x)　　(11)

C_p的方程记为

y=f_δ^p，_t(x)　　(12)

　　则由啮合干涉量的定义，式(2)的函数关系式即为

　　g=g(δ,t)=∫^b_a［f_δ^p,_t(x)-f_t^b(x)］dx　　(13)

　　式中积分限a、b为C_b与C_p的交点A、B所对应的x坐标，如图2所示。它 们也是δ和t的函数。式(13)可采用数值积分方法求解，例如用Newton-Cotes公式求解 。

2　数学模型中的非线性有限元问题
　　采用上述数学模型必须首先确定C_b及C_p的方程。如前所述，Cp方程的确 定较为简单，只需要对由带轮的相关几何参数确定的的方程进 行坐 标旋转变换即可。而C_b方程的确定则较为复杂，不仅要考虑到带与带轮的相关几何参 数以及进行坐标平移变换，而且还必须考虑带齿在带中张力作用下所产生的弹性变形。
　　一般情况下，同步带由带齿、带背、强力层、包布层组成，强力层处于带的节线位置。带齿 和带背材料为橡胶，强力层由玻璃纤维芯绳绕制而成，包布层采用变形纱，起保护作用。这 种材料特性决定了同步带中的应力-应变之间为非线性关系，这可由同步带拉伸试验的结果 加以验证［4］。同时，由于橡胶材料的弹性模量小，同步带在张紧力作用下将产生较大的 变形，因而其应变-位移之间为非线性关系［5］。所以，带齿在张紧力作用下的变形既是 材料非线性问题又是几何非线性问题［5］。
　　采用有限元法计算t时刻带齿在张紧力作用下的变形，其动力学方程为

　　(14)

t₀时刻的初始条件为

　　(15)

其中，分别为结点位移、 速度、加速度列矢量；{P(t)}为载荷列 矢量，由张紧力确定：［M］、［C］、［K］分别为系统的总体质量、阻尼、刚度矩阵 ，且有如下各式：

　　［M］=Σ_e［T_e］^T［L_e］^T［m^e］［L_e］［T_e］　　(16)
　　［C］=Σ_e［T_e］^T［L_e］^T［c^e］［L_e］［T_e］　　(17)
　　［K］=Σ_e［T_e］^T［L_e］^T［k^e］［L_e］［T_e］　　(18)

　　其中，［L_e］为单元局部坐标系对系统总体坐标系的坐标转换矩阵；［T_e］为 单元结点坐标在整个系统广义坐标中的定位矩阵；［m^e］、［c^e］、［k^e］分别 为在单元局部坐标系下的单元质量、阻尼、刚度矩阵，若按平面问题处理，则它们由以下各 式确定：

　　(19)
　　(20)
　　(21)

　　其中，ρ为材料密度；r为材料阻尼系数；A^e为单元的面积；［N］为矩形函 数矩阵。需要特 别关注的是单元的应力-应变关系矩阵［D］、应变-位移关系矩阵［B］以及应变 增量-位 移增量关系矩阵［B^*］，问题的材料非线性与几何非线性性质由它们直接体现，并最 终将非 线性因素归结于式(14)中的总体刚度矩阵［K］。由式(18)和式(21)可以证明，在［K］的各元素中含有结点位移分量，因此可写成如下形式：

［K］=［K({q(t)}］　　(22)

即说明式(14)为一个二阶非线性微分方程组。
　　需要说明的是，采用有限元法计算t时刻带齿在张力作用下的变形，建立了式(14)所示 的非线性力学方程组。在求解该方程组时不妨取初始条件式(15)为

　　(23)

且只需求出一、二个低阶模态即可。可选取三结点三角形单元，采用Newmark法［6］求解。

3　算例及实验
　　在上述分析的基础上，采用FORTRAN语言编制了求解同步带传动最佳节距差的计 算程序，并 对225L075型同步带传动在不同初张力条件下的节距差最佳值进行计算。计算结果如表1、表 2所示。

表1　E=7.0×10⁴N/mm²时的δ

表2　E=4.0×10⁴N/mm²时的δ^*

作者单位：西安交通大学，西安　710049

参考文献

1　武聪，李树军.同步带传动失效及疲劳寿命的研究.机械科学与技术.199 6.3.
2　丁渭平.同步带传动的CAD方法研究.西北工业大学硕士学位论文，1998.
3　刘惟信.机械最优化设计.第二版.北京.清华大学出版社，1994.
4　王勇.同步带传动力学性能分析研究.西北工业大学硕士学位论文，1997